Билет 1

1. Расстояние между А и В = 78 км. Из А выезжает велосипедист в В. Через час ему навстречу из В выезжает второй велосипедист, проезжающий за час на 4 км больше первого. Встреча состоялась на расстоянии 36 км от В. Сколько времени до встречи ехал каждый из велосипедистов и с какой скоростью?

2. Решить уравнение:
sqrt(7+8*cos(x)) + 2*sin(x) =0

3. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым уголом А и гипотенузой С вписан шар. Найти V призмы.

4. Может ли функция y=2*(sin(x))*(sin(x)) + (sin(2*x))*(sin(2*x)) принимать значение, равное 3? Определить все значения, которые принимает функция.

5. Решить неравенство:
log[3] ((1-x)/(x+7)) < (-3) 

Билет 2

1. Двое рабочих выполняют работу за 8 часов. Первый, работая отдельно, может выполнить ее на 12 часов скорее, чем второй. За сколько часов может выполнить работу каждый рабочий?

2. Решить уравнение:
(cos(2*x)-sin(4*x))/cos(6*x) = 1

3. В правильной треугольной пирамиде с высотой Н плоский угол при вершине = А. Определить объем пирамиды.

4. Может ли функция  y=2*sin(x) + cos(2*x) принимать значение =3, -3?

5. Решить неравенство:
log[2](5*2^(х-2)-1) < 1 

Билет 3

1. Решить уравнение:
((sqrt(3)*cos(x)-sin(x))^2) /(sqrt(3)-2*sin(2*x)) = sqrt(3)/2

2. Между двумя параллельными плоскостями заключен конус так, что его основание лежит на одной, а вершина - на другой плоскости. Угол между конусом и его образующей = А. Через середину высоты проведена прямая, составляющая с ней угол В. Отрезок этой прямой между параллельными плоскостями = L. Найти отрезок, заключенный внутри конуса.

3. Найти все а, при которых уравнения
x^2+2*x = a
x^2-4*x+6*a =0
имеют общий корень.

4. Задача, аналогичная задаче про велосипедистов из билета 1.

5. Решить неравенство:
log[2] ((2-x)/(x+4))<(-4). 

Билет 4

1. Решить уравнение:
log[1/2](3*x^2+4)+log[2](sqrt(6-x/4))=0

2. Решить систему уравнений:
sin(x)*sin(y)=1/4
3*tg(x)=ctg(y)

3. Из А в В выехал велосипедист. Через 1 час из A выехал мотоциклист, который прибыл в В одновременно с велосипедистом. Если бы велосипедист и мотоциклист одновременно выехали из А и В навстречу друг другу, то они бы встретились через 1 час 12 минут после выезда. Найти время, за которое велосипедист доехал из А в В.

4. В правильной треугольной пирамиде ABCD с вершиной D проведена плоскость, пересекающая боковые ребра в точках M, N, L так, что DM/MA=5/3, DN/NB=1/2, DL/LC=3/2. Найти, в каком соотношении эта плоскость делит объем пирамиды.

5. Путь х и у удовлетворяют неравенству
у-х^2-2*x+3 >= 0
Определить минимальное значение выражения (у-х).

Отдельные задачи из билетов с указанием года

(1995)
Решить уравнение:
5*cos(x)-3*sin(x) = sqrt(7*cos(2*x)+2*sin(2*x)

(1993)
Решить систему уравнений:
cos(x)*sin(2*y) = 3/4
sin(x)*cos(2*y) = 1/4

(1995)
Решить уравнение:
sin(x)+cos(x) = sqrt(1+ctg(x))

(1995)
Решить уравнение:
log[1/2](3*x/2+4)+log[2](sqrt(6-x/4)) = 0

(1993)
Решить систему уравнений:
log[3](x+2*a) - log[3](x*x+6*a*x+2) = (-1)
log[1/2](x*x-10*x+11)-log[1/2](x*x-4*x+2) = (-2)

(1994)
Решить уравнение:
1/sqrt(2*x-3) = (2*x-3)*log[1/16](x-x*x+1)

(1994)
Решить систему неравенств:
a*x*x+(2*a+8)*x+a+7 >= 0
x-1 <= 0

Математика

1. Решить неравенство:
log[2](x) < log[1/2] (3x-l)-2

2. Из пунктов А и В навстречу друг другу выезжают одновременно и с одинаковыми скоростями два автомобиля и встречаются через 5 часов 30 мин. выезда в пункте С. Если бы скорость одного из этих автомобилей была 10 км/ч больше, то они встретились бы в пункте, отстоящем от С на расстоянии 25 км. Найти скорости автомобилей.

3.Длина ребра куба ABCDA'B'C'D' равна а, точка М - середина ребра B'C'. Найти периметр треугольника АD'М и площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки А и М и параллельной прямой ВC'.

4. Решить уравнение:
(sqrt(9-х*x))*(2*sin(п*х)+5*cos(п*x)) = 0

5. Найти арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первых десяти ее членов равна 300, а первый, второй и пятый члены, кроме того, образуют геометрическую прогрессию.

Ответы и указания:

1. (1/3; 1/2 )

Указания.
Перейти к основанию 2, учесть область определения (х > 1/3).

2. 50 км/ч.

Указания.
Пусть v - скорость автомобилей, S-расстояние от А до В. Очевидно, что С находится посередине. Тогда условия задачи можно записать в виде системы уравнений:
S=2v*11/2
(S/2+25)/(v+10)=(S/2-25)/v

3. a*sqrt(2)+a*sqrt(5)/2+3*a/2; 9*a*a/8

4. + 3; + 5/2 ; + 3/2 +1/2.

Указания.
Уравнение равносильно совокупности уравнений 9-х*x =0 с корнями х= +3 и системы
2*sin(2*п*х) + 5*cos(п*х) = 0
9-х*х >= 0